삼각함수 배각의 공식과 반각의 공식

배각의 공식

삼각함수 덧셈정리로부터 유도해 낼 수 있다.
\[\begin{align}
\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha
\end{align}\]
\[\begin{align}
\cos2\alpha&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\
&=1-2\sin^2\alpha\\
&=2\cos^2\alpha -1
\end{align}\]
\[\begin{align}
\tan2\alpha={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha}
\end{align}\]

반각의 공식

\[\sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}\]
\[\cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}\]
\[\tan^2{\alpha\over 2}={\cos-\alpha\over \cos+\alpha}\]

사인함수의 배각의 공식 증명

\[\begin{align}
\sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\
&=2\sin\alpha\cos\alpha
\end{align}\]

코사인함수의 배각의 공식 증명

\[\begin{align}
\cos2\alpha&=\cos\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\sin\alpha\\
&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\
&=1-2\sin^2\alpha\\
&=2\cos^2\alpha -1
\end{align}\]

탄젠트함수의 배각의 공식 증명

\[\begin{align}
\tan2\alpha&={\tan\alpha+\tan\alpha\over 1-\tan\alpha\tan\alpha}\\
&={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha}
\end{align}\]

사인함수의 반각의 공식 증명

코사인함수의 배각의 공식에서 \(\alpha={\alpha\over 2}\)로 놓으면,
\[\begin{align}
\cos\alpha&=1-2\sin^2{\alpha\over 2}\\
{\cos\alpha\over 2}&={1\over 2}-\sin^2{\alpha\over 2}\\
\sin^2{\alpha\over 2}&={1-\cos\alpha\over 2}
\end{align}\]

코사인함수의 반각의 공식 증명

코사인함수의 배각의 공식에서 \(\alpha={\alpha\over 2}\)로 놓으면,
\[\begin{align}
\cos\alpha&=2\cos^2{\alpha\over 2}-1\\
{\cos\alpha\over 2}&=\cos^2{\alpha\over 2}-{1\over 2}\\
\cos^2{\alpha\over 2} &={1+\cos\alpha\over 2 }
\end{align}\]

탄젠트함수의 반각의 공식 증명

\[\begin{align}
\tan^2{\alpha\over 2}&={\sin^2{\alpha\over 2}\over \cos^2{\alpha\over 2}}={{1-\cos\alpha\over 2}\over{1+\cos\alpha\over 2}}\\
&={1-\cos\alpha\over 1+\cos\alpha}
\end{align}\]

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